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FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMIAL

1.A-. El perímetro craneal de los hombres en una ciudad es una N (60;2) medido en cm. ¿Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16’6%de sus paisanos “tengan más cabeza que el”?

Solución:

X: Es la variable que define el perímetro que debe tener un hombre de cráneo.

m = 60 cm

s = 2 cm

P: 0.166

El perímetro de cráneo para que el 16.6% de sus paisanos tenga mas cabeza que el es de 61.94019 cm

DISTRIBUCION DE POISSON

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

FUNCIONES DE PROBALIDAD CONTINUA

DISTRIBUCION NORMAL

El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

Solución:

x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas

m = 0.635 pulgadas

s = 0.082 pulgadas

p(z = -2.41) = 0.492

p(x < 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008

FUNCION EXPONENCIAL

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de $,_{84}^{210}!Po$ . Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de $,_{84}^{210}!Po$ es una v.a. de distribución exponencial:

$begin{eqnarray}html{eqn61}T{leadsto}{ {{bf Exp} left( lambda=frac{1}{140}... ... &Longleftrightarrow&qquad F(t)=1 - e^{-lambda ,t} nonumber end{eqnarray}$

Como el número de átomos de $,_{84}^{210}!Po$ existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t₉₀, de la distribución exponencial, es decir

$begin{displaymath}F(t_{90}) = 0,9 ;;Leftrightarrow;;e^{-lambda,t_{90}}= ... ...t_{90}=- frac{1}{lambda}, ln 0,1 approx 322 mbox{ días} end{displaymath}$

Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por la función de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.